Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Die Untertitelung wird mit Untertiteln von SWISS TXT im Auftrag von SWISS TXT verwendet.

Mein Favorit.

Was wollen wir dann abstrakt darstellen?

Es bedeutet einfach nur, im Gegensatz zuerst die Komponente, wo alles wie gemacht ist.

Diese Abwendung aus zwei Vektorkomponenten in den Skalan-Körper.

In der ersten Komponente haben wir ganz normal den RGT.

In der zweiten Komponente haben wir auch Verträglichkeit mit der Adjektion.

Aber die Skalan haben wir nicht als Skalan, sondern als Alpha mal Skalan.

Mal erst mal abstrakt ein Körperautomorphismus aus der Medienart noch mal raus.

Das bildet eben die Situation, dass wir das komplexe, eukalyptische Skalar produzieren,

wo wir eben die Skala nur konjugiert komplex heraus bekommen.

Wie gesagt, wenn Sie das irgendwie irritiert, vergessen Sie es einfach und konzentrieren Sie sich auf Medienartformen.

Dann müssen wir irgendwann noch sagen, naja, wenn wir jetzt auch Hermitische Formen haben wollen,

also die abstrakte Variante der eukalyptischen, das bildet jetzt der komplexe, eukalyptische inneren Produkt,

dann geht alles genauso.

Was untergespricht dann auch so in dieser Linie.

Okay, gut. Was hatten wir schon gesehen?

Wir wissen jetzt seit Langem und davon lebt diese ganze Vorlesung,

dass eine menschlich dimensionale Terminihara-Abbildung durch eine Matrix,

eine darstellungsmatrix, eine festgehaltene Basis oder Basis der beiden Räume darstellen lässt.

Wir wissen, wie sich diese Matrizen transformieren, das ist das Stichwort Ähnlichkeitstransformation,

haben uns sehr lange damit aufgehalten, uns zu fragen, gibt es eine Ähnlichkeit, gibt es eine Basis,

gibt es eine Ähnlichkeitstransformation, in dem dann die Darstellung diagonal ist.

Wir haben letztes Mal gesehen, hier ist es auf den ersten Blick genau das Gleiche.

Auch eine bilinear-Form, auch eine alphabilinear-Form können wir durch eine Matrix beschreiben.

Und zwar ist das dieser Zusammenhang, wir geben uns irgendeine Matrix vor, mit Körpereinträgen,

die heißt hier G und machen diese Bildung hier.

Also wenn man so will, ist das eben, im Prinzip kennen wir das schon für den Fall,

dass wir in R oder C sind und dass die Matrix symmetrisch positiv definiert ist,

dann waren das die allgemeinen inneren Produkte auf dem K hoch N.

Jetzt gehen wir noch einen Schritt weiter und lassen die Matrix G ganz beliebig zu

und wir sehen, durch diese Bildung hier erzeugen wir, was also in Matrix-Schreibweise einfach das hier ist,

V transponiert, G transponiert, Alpha von W, wobei Alpha von einem Vektor oder einer Matrix

immer komponentenweise zu verstehen ist, wir bilden auf diese Weise erstmal eine alphabilinear-Form.

Andererseits können wir den Spieß auch umdrehen.

Und zwar, wenn wir eine alphabilinear-Form haben,

dann gibt es so eine Matrix, die auf die gerade beschriebene Weise diese alphabilinear-Form erzeugt.

Diese Matrix hat dann die Gestalt, die uns auch schon irgendwie bekannt vorkommen sollte,

bilinear-Form oder alphabilinear-Form Phi von VL, VK,

wobei die Vs Elemente einer festgewählten Basis sind.

Und das hier gibt sozusagen gerade über Kreuz den KL-Teneintrag der Matrix.

Das ist also genau die Definition der Gramschen Matrix, die wir für den Fall,

dass Phi ein inneres Produkt ist, schon kennen.

In dem Sinne sind eben die alphabilinear-Formen genau die Gramschen Matrizen.

Und in dem Sinne genau die allgemeinen quadratischen Matrizen.

Jede Matrix kann Gramschen Matrix sein, jede bilinear-Form hat eine eindeutige Form.

Jede bilinear-Form hat eine eindeutige Gramschen Matrix.

Immer für festgehaltene Basis natürlich.

Die nächste Frage ist jetzt natürlich, was passiert, wenn sich die Basis ändert.